A Comprehensive & Step-by-Step Guide
We have learned about points and lines in two-dimensional rectangular coordinate system. In this chapter, we will extend the system to three dimensions.
2D ပြင်ညီ (Plane) တစ်ခုပေါ်မှာ အမှတ်တစ်ခုကို ဖော်ပြဖို့ $x$ နဲ့ $y$ ဆိုတဲ့ ကိန်းစစ် (Real numbers) စုံတွဲ $(x, y)$ ကို အသုံးပြုပါတယ်။
အလားတူပဲ 3D space ထဲမှာရှိတဲ့ အမှတ်တစ်ခုကို ဖော်ပြဖို့အတွက်တော့ ကိန်းစစ် သုံးခုပါဝင်တဲ့ စနစ် $\displaystyle (x, y, z)$ ကို အသုံးပြုရပါတယ်။ ၎င်းကို Ordered triple ဟု ခေါ်ဆိုပါသည်။
ပုံသေမှတ်တစ်ခုဖြစ်တဲ့ Origin $O$ ကနေ အချင်းချင်း perpendicular ဖြစ်နေတဲ့ (Mutually perpendicular) မျဉ်းသုံးကြောင်းကို ဆွဲထုတ်လိုက်ပါ။ ၎င်းတို့ကို x-axis, y-axis နှင့် z-axis ဟု ခေါ်ပါသည်။
(ပုံ ၃.၁ - space ရှိ အမှတ်တစ်ခုအား ဖော်ပြခြင်း)
ဝင်ရိုး (Axes) များ ပေါင်းစပ်သွားသောအခါ အဓိက ပြင်ညီကြီး ၃ ခု ထွက်ပေါ်လာပါသည်။ ၎င်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း မှတ်သားနိုင်ပါသည်။
| Plane | Equation | Coordinates Format |
|---|---|---|
| xy-plane | $\displaystyle z = 0$ | $\displaystyle (x, y, 0)$ |
| yz-plane | $\displaystyle x = 0$ | $\displaystyle (0, y, z)$ |
| zx-plane | $\displaystyle y = 0$ | $\displaystyle (x, 0, z)$ |
Parallel Planes
အကယ်၍ ပြင်ညီတစ်ခုသည် xy-plane နှင့် parallel ဖြစ်နေပါက၊ ထိုပြင်ညီပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်း၏ z-တန်ဖိုးသည် အမြဲတမ်း တူညီနေမည် ဖြစ်ပါသည်။ ဥပမာ - z-တန်ဖိုး $c$ တွင် ဖြတ်သွားသော ပြင်ညီဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ $\displaystyle z = c$ ဖြစ်ပြီး၊ အမှတ်များ၏ ပုံစံမှာ $\displaystyle (x, y, c)$ ဖြစ်ပါသည်။
အလားတူပင်၊ yz-plane နှင့် parallel ဖြစ်သော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ $\displaystyle x = a$ ဖြစ်ပြီး၊ zx-plane နှင့် parallel ဖြစ်သော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ $\displaystyle y = b$ ဖြစ်ပါသည်။
| Plane | Equation | Coordinates | Example Equation | Coordinates |
|---|---|---|---|---|
| Parallel to xy-plane | $\displaystyle z=c$ | $\displaystyle (x,y,c)$ | $\displaystyle z=1$ | $\displaystyle (x,y,1)$ |
| Parallel to yz-plane | $\displaystyle x=a$ | $\displaystyle (a,y,z)$ | $\displaystyle x=5$ | $\displaystyle (5,y,z)$ |
| Parallel to zx-plane | $\displaystyle y=b$ | $\displaystyle (x,b,z)$ | $\displaystyle y=2$ | $\displaystyle (x,2,z)$ |
Note that:
Find the equation of the line through the point $\displaystyle (-3,5,7)$ and perpendicular to
(a) xy-plane
(b) yz-plane
(c) zx-plane.
Find the point of intersection of the line and plane.
(a) The equation of the line through the point $\displaystyle (-3,5,7)$ and perpendicular to xy-plane is
$\displaystyle x=-3$, $\displaystyle y=5$ or $\displaystyle (-3,5,z)$
The point of intersection of the line and xy-plane is $\displaystyle (-3,5,0)$.
(b) The equation of the line through the point $\displaystyle (-3,5,7)$ and perpendicular to yz-plane is
$\displaystyle y=5$, $\displaystyle z=7$ or $\displaystyle (x,5,7)$
The point of intersection of the line and yz-plane is $\displaystyle (0,5,7)$.
(c) The equation of the line through the point $\displaystyle (-3,5,7)$ and perpendicular to zx-plane is
$\displaystyle z=7$, $\displaystyle x=-3$ or $\displaystyle (-3,y,7)$
The point of intersection of the line and zx-plane is $\displaystyle (-3,0,7)$.
3D space ရှိ အမှတ်နှစ်ခု $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ နှင့် $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ တို့ကြား အကွာအဝေးရှာသည့် ဖော်မြူလာမှာ 2D Pythagorean theorem ကို ချဲ့ထွင်ထားခြင်း ဖြစ်ပါသည်။
ပုစ္ဆာ: အမှတ် $\displaystyle P(2, -3, 5)$ နှင့် $\displaystyle Q(7, 5, -2)$ တို့ကြားရှိ Distance ကို ရှာပါ။
အမှတ်များအား $\displaystyle (x_1, y_1, z_1) = (2, -3, 5)$ နှင့် $\displaystyle (x_2, y_2, z_2) = (7, 5, -2)$ ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ Distance formula တွင် တိုက်ရိုက် အစားသွင်း၍ တွက်ချက်ပါမည်။
ထို့ကြောင့် အမှတ်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေးမှာ $\displaystyle \sqrt{138}$ units ဖြစ်ပါသည်။
အမှတ် $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ နှင့် $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ တို့ကို ဆက်ဆွဲထားသော မျဉ်းပိုင်းအား $\displaystyle m:n$ အချိုးဖြင့် အတွင်းပိုင်း (Internally) ပိုင်းဖြတ်သော အမှတ် $\displaystyle R(x, y, z)$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို ရှာရန် Section Formula ကို အသုံးပြုပါသည်။
အကယ်၍ အမှတ် $\displaystyle R$ သည် $\displaystyle P$ နှင့် $\displaystyle Q$ ၏ အလယ်မှတ် (Midpoint) ဖြစ်ပါက $\displaystyle m=1$ နှင့် $\displaystyle n=1$ ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်ရာ ဖော်မြူလာမှာ အောက်ပါအတိုင်း လွယ်ကူသွားမည် ဖြစ်ပါသည်။
မျဉ်းပိုင်း $\displaystyle PQ$ အတွက် $\displaystyle P$ သည် $\displaystyle (x_1, y_1, z_1)$ ဖြစ်ပြီး $\displaystyle Q$ သည် $\displaystyle (x_2, y_2, z_2)$ ဖြစ်ပါက၊ ၎င်း၏ Directed values $\displaystyle \langle l, m, n \rangle$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖွင့်ဆိုပါသည်။
ထို $\displaystyle l, m, n$ တန်ဖိုးများကို အသုံးပြု၍ မျဉ်းပိုင်း $\displaystyle PQ$ ၏ အလျား (Length) ကိုလည်း ပြန်လည်ရှာဖွေနိုင်ပါသည်။
မျဉ်းတစ်ကြောင်း၏ လားရာကို Directed values $\displaystyle \langle l, m, n \rangle$ ဖြင့် ဖော်ပြရုံသာမက၊ ထိုမျဉ်းသည် $\displaystyle x, y, z$ ဝင်ရိုးများနှင့် ပြုလုပ်သော ထောင့်များ ($\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$) ၏ Cosine တန်ဖိုးများကို အသုံးပြု၍လည်း ဖော်ပြနိုင်ပါသည်။ ၎င်းတို့ကို Direction Cosines ဟုခေါ်ပါသည်။
Direction Cosines များ၏ အလွန်အရေးကြီးသော သက်သေပြချက် (Identity) တစ်ခုမှာ-
ဖြစ်ပါသည်။ ၎င်းသည် 3D Analytical Geometry တွင် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သော အခြေခံသဘောတရား ဖြစ်ပါသည်။
အမှတ် $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ မှ ဖြတ်သွားပြီး၊ Directed values အားဖြင့် $\displaystyle \langle l, m, n \rangle$ ရှိသော မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ မည်သည့်အမှတ် $\displaystyle R(x, y, z)$ ကိုမဆို Parameter $\displaystyle k$ (ကိန်းစစ်တစ်ခု) အသုံးပြု၍ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်ပါသည်။
ဤပုံစံကို Parametric Form ဟု ခေါ်ပါသည်။
အကယ်၍ $\displaystyle l, m, n$ များသည် သုည မဟုတ်ပါက၊ ၎င်းကို အချိုးချ၍ အောက်ပါအတိုင်း Cartesian Form (သို့) Symmetric Form အဖြစ် ရေးသားနိုင်ပါသည်။
The coordinates of point $\displaystyle R$ on the line $\displaystyle PQ$ with respect to the point $\displaystyle P$ and a real number $\displaystyle k$ are $\displaystyle (x,y,z) = (x_1+kl, y_1+km, z_1+kn)$.
In general, if a segment of a line through $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ has directed values $\displaystyle \langle l,m,n \rangle$ which are not equal to zero, then the equation of the line can be written in proportional form as:
This equation is perfectly called the Cartesian Form or Symmetric form of the line equation. ၎င်းသည် x, y, z များကို အချိုးညီမျှစွာ ဖော်ပြထားခြင်း ဖြစ်သည်။
အမှတ် $\displaystyle P(1, 2, 3)$ နှင့် $\displaystyle Q(3, 6, 5)$ တို့ ပေးထားပါသည်။ မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ပေါ်ရှိ အမှတ် $\displaystyle R(x, y, z)$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို၊ အမှတ် $\displaystyle P$ ကို အခြေခံ၍ အောက်ပါ Parameter $\displaystyle k$ တန်ဖိုးများအတွက် ရှာဖွေပါ။
(a) $\displaystyle k = \frac{1}{2} \quad$ (b) $\displaystyle k = 2 \quad$ (c) $\displaystyle k = -2$
ပထမဦးစွာ မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ၏ Directed values $\displaystyle \langle l, m, n \rangle$ ကို အရင်ရှာပါမည်။ ($Q$ မှ $P$ ကို နုတ်ပါမည်)
Parametric ညီမျှခြင်း ဖော်မြူလာ $\displaystyle (x, y, z) = (x_1 + kl, y_1 + km, z_1 + kn)$ တွင် $\displaystyle P(1,2,3)$ နှင့် $\displaystyle \langle 2,4,2 \rangle$ ကို အသုံးပြုပါမည်။
(a) $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ အတွက်:
(b) $\displaystyle k = 2$ အတွက်:
(c) $\displaystyle k = -2$ အတွက်:
ပေးထားသော အမှတ်များမှာ $\displaystyle P(-1, 2, 3)$ နှင့် $\displaystyle Q(3, 5, -2)$ ဖြစ်ပါသည်။ အောက်ပါ အမှတ်များသည် မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ပေါ်တွင် ရှိ/မရှိ စစ်ဆေးပါ။ အကယ်၍ ရှိပါက၊ အမှတ် $\displaystyle P$ အား အခြေခံ၍ သက်ဆိုင်ရာ Parameter $\displaystyle k$ ကို ရှာပါ။
(a) $\displaystyle \left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right) \quad$ (b) $\displaystyle (7, 8, -2)$
မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ၏ Directed values $\displaystyle \langle l, m, n \rangle$ ကို ရှာပါမည်။
ထို့ကြောင့် မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ၏ Cartesian Form ညီမျှခြင်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။
(a) အမှတ် $\displaystyle \left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$ အတွက် စစ်ဆေးခြင်း:
ညီမျှခြင်း၏ အစိတ်အပိုင်း တစ်ခုချင်းစီတွင် $x, y, z$ တန်ဖိုးများကို အစားသွင်း၍ စစ်ဆေးပါမည်။
x အပိုင်း:
y အပိုင်း:
z အပိုင်း:
အစိတ်အပိုင်း သုံးခုလုံး၏ တန်ဖိုးများသည် $\displaystyle \frac{1}{2}$ ဖြင့် အတိအကျ တူညီနေပါသည်။ ထို့ကြောင့် ဤအမှတ်သည် မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ပေါ်တွင် ရှိပြီး၊ ၎င်း၏ Parameter တန်ဖိုးမှာ $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ ဖြစ်ပါသည်။
(b) အမှတ် $\displaystyle (7, 8, -2)$ အတွက် စစ်ဆေးခြင်း:
x အပိုင်း:
y အပိုင်း:
z အပိုင်း:
ဤနေရာတွင် x နှင့် y အပိုင်းများ တူညီသော်လည်း z အပိုင်းနှင့် မတူညီပါ။ $\displaystyle \left(2 = 2 \neq 1\right)$ ။ ထို့ကြောင့် ဤအမှတ်သည် မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ပေါ်တွင် မရှိပါ။
Given $\displaystyle P(1,2,3)$ and $\displaystyle Q(3,6,5)$, find the coordinates of point $\displaystyle R(x,y,z)$ on the line $\displaystyle PQ$ with respect to the point $\displaystyle P$ and the following parameters.
(a) $\displaystyle k=\frac{1}{2} \quad$ (b) $\displaystyle k=2 \quad$ (c) $\displaystyle k=-2$
By given $\displaystyle P(1,2,3)$ and $\displaystyle Q(3,6,5)$,
(a) For $\displaystyle k=\frac{1}{2}$, $\displaystyle (x,y,z) = \left(1+\frac{1}{2}(2), 2+\frac{1}{2}(4), 3+\frac{1}{2}(2)\right) = (2,4,4)$.
(b) For $\displaystyle k=2$, $\displaystyle (x,y,z) = (1+2(2), 2+2(4), 3+2(2)) = (5,10,7)$.
(c) For $\displaystyle k=-2$, $\displaystyle (x,y,z) = (1+(-2)(2), 2+(-2)(4), 3+(-2)(2)) = (-3,-6,-1)$.
Given $\displaystyle P(-1,2,3)$ and $\displaystyle Q(3,5,-2)$ determine whether or not the following points are on the line $\displaystyle PQ$. If the point is on the line $\displaystyle PQ$, find the corresponding parameter with respect to the point $\displaystyle P$.
(a) $\displaystyle \left(1,\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right) \quad$ (b) $\displaystyle (7,8,-7) \quad$ (c) $\displaystyle (-5,-1,8) \quad$ (d) $\displaystyle (7,8,-2)$
By given $\displaystyle P(-1,2,3)$ and $\displaystyle Q(3,5,-2)$
Thus, the equation of the line $\displaystyle PQ$ is $\displaystyle \frac{x+1}{4} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-5}$
(a) If $\displaystyle (x,y,z) = \left(1,\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$ then
So $\displaystyle \frac{x+1}{4} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-5}$ for $\displaystyle \left(1,\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$.
Hence the point $\displaystyle \left(1,\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$ is on the line $\displaystyle PQ$ with corresponding parameter is $\displaystyle \frac{1}{2}$.
(b) If $\displaystyle (x,y,z) = (7,8,-7)$, then
Hence the point $\displaystyle (7,8,-7)$ is on the line $\displaystyle PQ$ with corresponding parameter is $\displaystyle 2$.
(c) If $\displaystyle (x,y,z) = (-5,-1,8)$, then
Hence the point $\displaystyle (-5,-1,8)$ is on the line $\displaystyle PQ$ with corresponding parameter is $\displaystyle -1$.
(d) If $\displaystyle (x,y,z) = (7,8,-2)$, then
So $\displaystyle \frac{x+1}{4} = \frac{y-2}{3} \ne \frac{z-3}{-5}$ for $\displaystyle (7,8,-2)$.
Hence the point $\displaystyle (7,8,-2)$ is not on the line $\displaystyle PQ$.
မျဉ်းနှစ်ကြောင်း၏ Directed values များသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အချိုးကျနေပါက (Multiples of each other)၊ ထိုမျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် parallel ဖြစ်နေပါသည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $\displaystyle \langle l_1, m_1, n_1 \rangle = k \langle l_2, m_2, n_2 \rangle$ ဖြစ်ရပါမည်။
2D ပြင်ညီပေါ်တွင် မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် ပြိုင်လျှင်ပြိုင်၊ မပြိုင်လျှင် ဖြတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော် 3D space တွင်မူ parallel လည်းမဟုတ်၊ အချင်းချင်းလည်း မဖြတ်သော မျဉ်းများ ရှိပါသည်။ ၎င်းတို့ကို skew lines ဟု ခေါ်ပါသည်။ (ဥပမာ - တံတားပေါ်မှ ဖြတ်သွားသော လမ်းနှင့် တံတားအောက်မှ ဖြတ်သွားသော ရေလမ်းကြောင်း ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်)
မျဉ်းနှစ်ကြောင်း ဖြတ်သွားသောအခါ ၎င်းတို့ကြားရှိ ထောင့် $\displaystyle \theta$ ကို ရှာဖွေရန် Directed values များ $\displaystyle \langle l_1, m_1, n_1 \rangle$ နှင့် $\displaystyle \langle l_2, m_2, n_2 \rangle$ ကို အသုံးပြု၍ အောက်ပါဖော်မြူလာဖြင့် တွက်ချက်နိုင်ပါသည်။
ဤဖော်မြူလာသည် Triangle ပေါ်တွင် Law of Cosines ကို အသုံးပြု သက်သေပြထားခြင်း ဖြစ်ပါသည်။
မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် အချင်းချင်း ဖြတ်ကြပြီး၊ ၎င်းတို့၏ Directed values များအား အောက်ပါညီမျှခြင်းအတိုင်း မြှောက်၍ ပေါင်းပါက သုည ရရှိလျှင် ထိုမျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် perpendicular ဖြစ်ပါသည်။
ဤဖော်မြူလာသည် မျဉ်းနှစ်ကြောင်းကြားရှိ ထောင့်ကို ရှာဖွေသော Cosine rule ဖော်မြူလာမှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်ပါသည်။ $\displaystyle \cos 90^\circ = 0$ ဖြစ်သောကြောင့် အထက်ပါ ညီမျှခြင်းကို ရရှိခြင်းဖြစ်သည်။
အမှတ်များ $\displaystyle P(2, 1, 3)$, $\displaystyle Q(6, -5, 4)$, $\displaystyle R(2, 3, 4)$ နှင့် $\displaystyle S(-1, 5, 1)$ ပေးထားပါသည်။ မျဉ်း $\displaystyle PQ$ နှင့် မျဉ်း $\displaystyle RS$ တို့သည် parallel လား၊ skew လား သို့မဟုတ် အချင်းချင်း intersect လား ဆိုသည်ကို စစ်ဆေးပါ။
ပထမဦးစွာ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းစလုံး၏ Directed values များကို ရှာပါမည်။
(၁) အပြိုင်ဟုတ်မဟုတ် စစ်ဆေးခြင်း:
Directed values များ အချိုးကျမှု ရှိမရှိ စစ်ဆေးပါမည်။
အချိုးများ မတူညီသောကြောင့်၊ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် မပြိုင်ပါ (Not Parallel)။
(၂) ဖြတ်/မဖြတ် စစ်ဆေးခြင်း:
အကယ်၍ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် ဖြတ်ကြမည်ဆိုလျှင်၊ ၎င်းတို့ပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်မှတ် $\displaystyle (x,y,z)$ သည် တူညီရပါမည်။ မျဉ်းတစ်ခုစီအတွက် မတူညီသော Parameter $\displaystyle s$ နှင့် $\displaystyle t$ တို့ကို အသုံးပြု၍ Parametric ညီမျှခြင်းများ တည်ဆောက်ပါမည်။
Line $PQ$:
Line $RS$:
ထို $x, y, z$ များကို အချင်းချင်း ညီမျှခြင်း ချပါမည် (Equating the coordinates):
ညီမျှခြင်း (1) ကို ရိုးရှင်းအောင် ပြုလုပ်ပါက $\displaystyle 4s = -3t \implies t = -\frac{4s}{3}$ ရရှိမည်။
၎င်းကို ညီမျှခြင်း (2) တွင် အစားသွင်းပါမည်-
ညီမျှခြင်း တစ်ခုလုံးကို 3 ဖြင့် မြှောက်ပါ-
ထို့ကြောင့် $\displaystyle t = -\frac{4}{3} \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$ ရရှိမည်။
အရေးကြီးဆုံး အဆင့်: ရရှိလာသော $\displaystyle s$ နှင့် $\displaystyle t$ တန်ဖိုးများကို ကျန်ရှိနေသော ညီမျှခြင်း (3) တွင် အစားသွင်း၍ မှန်ကန်မှု ရှိမရှိ စစ်ဆေးရပါမည်။
L.H.S:
R.H.S:
$\displaystyle \frac{12}{5} \neq \frac{8}{5}$ ဖြစ်နေသောကြောင့် ဤညီမျှခြင်းစနစ် (System of equations) သည် အဖြေမရှိပါ (No solution)။ ဆိုလိုသည်မှာ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် မည်သည့်နေရာတွင်မှ မဖြတ်ကြပါ။
ပြိုင်လည်း မပြိုင်၊ အချင်းချင်းလည်း မဖြတ်သောကြောင့် မျဉ်း $\displaystyle PQ$ နှင့် $\displaystyle RS$ တို့သည် skew lines ဖြစ်ကြောင်း အတိအကျ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါသည်။
Given $\displaystyle P(2,1,3)$, $\displaystyle Q(6,-5,4)$, $\displaystyle R(2,3,4)$ and $\displaystyle S(-1,5,1)$, determine whether the lines $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle RS$ are parallel or skew or intersect.
For $\displaystyle P(2,1,3)$ and $\displaystyle Q(6,-5,4)$, $\displaystyle \langle PQ \rangle = \langle 4,-6,1 \rangle$
For $\displaystyle R(2,3,4)$ and $\displaystyle S(-1,5,1)$, $\displaystyle \langle RS \rangle = \langle -3,2,-3 \rangle$
Since directed values of $\displaystyle PQ$ are not multiple of $\displaystyle RS$,
So, two lines are not parallel.
If a point $\displaystyle (x,y,z)$ is on the lines $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle RS$, then
for real numbers $\displaystyle s$ and $\displaystyle t$. Thus,
Solving first two of these equations, we have $\displaystyle s = -\frac{3}{5}$ and $\displaystyle t = \frac{4}{5}$.
But $\displaystyle 3+\left(-\frac{3}{5}\right) \ne 4-3\left(\frac{4}{5}\right)$ these values of $\displaystyle s$ and $\displaystyle t$ do not satisfy the last equation.
So, the system of equations has no solution and hence the given lines do not intersect.
Therefore, the given lines are skew.
Given $\displaystyle P(0,0,1)$, $\displaystyle Q(3,6,4)$, $\displaystyle R(0,3,1)$ and $\displaystyle S(3,0,4)$, show that the lines $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle RS$ are perpendicular.
$\displaystyle \langle PQ \rangle = \langle l_1,m_1,n_1 \rangle = \langle 3,6,3 \rangle$ and $\displaystyle \langle RS \rangle = \langle l_2,m_2,n_2 \rangle = \langle 3,-3,3 \rangle$.
If a point $\displaystyle (x,y,z)$ is on the lines $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle RS$, then
Line $PQ$:
Line $RS$:
$\displaystyle x = 3\left(\frac{1}{3}\right) = 1$, $\displaystyle y = 6\left(\frac{1}{3}\right) = 2$, $\displaystyle z = 1+3\left(\frac{1}{3}\right) = 2$.
The point of intersection is $\displaystyle (1, 2, 2)$ and two lines intersect.
Hence $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle RS$ are perpendicular.
Find the equation of the line passing through the point $\displaystyle (-4,7,-3)$ and perpendicular to the line $\displaystyle (x,y,z)=(3+2k, -1+3k, 1-k)$. Find also the point of intersection of two lines.
Directed values of the given line are $\displaystyle \langle 2, 3, -1 \rangle$.
Directed values of the required line are
If two lines are perpendicular, then
So, directed values of required line are $\displaystyle \langle -7-2(1), 8-3(1), -4+1 \rangle = \langle -9,5,-3 \rangle$
and the equation of the line is
The point of intersection is $\displaystyle (x,y,z) = (3+2(1), -1+3(1), 1-(1)) = (5,2,0)$.
3D space တွင် ပြင်ညီ (Plane) တစ်ခု၏ ယေဘုယျညီမျှခြင်း (Cartesian Form) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါသည်။
ဤနေရာတွင် $\displaystyle a, b, c$ များသည် ပြင်ညီနှင့် perpendicular ဖြစ်နေသော မျဉ်း (Normal line) ၏ Directed values $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ များပင် ဖြစ်ပါသည်။
မည်သည့်ပြင်ညီမဆို ထိုပြင်ညီနှင့် perpendicular ဖြစ်နေသော Normal line တစ်ကြောင်း အမြဲရှိပါသည်။ Analytical Geometry ၏ အလွန်အရေးကြီးသော သဘောတရားအရ၊ ထို Normal line ၏ Direction Ratios များသည် $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ နှင့် အချိုးကျနေသောကြောင့်၊ ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းသည် အမြဲတမ်း $\displaystyle ax + by + cz = d$ ပုံစံသို့ ရောက်ရှိသွားခြင်း ဖြစ်ပါသည်။
ဆိုလိုသည်မှာ ပြင်ညီတစ်ခု၏ တိမ်းစောင်းမှုကို ၎င်းနှင့် perpendicular ဖြစ်သော မျဉ်းက အတိအကျ သတ်မှတ်ပေးထားခြင်း ဖြစ်သည်။
ပေးထားသော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ထားပါမည်။
ပြင်ပရှိ ပေးထားသော အမှတ်ကို $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ ဟု ထားပါမည်။
အမှတ် $\displaystyle P$ မှ ပြင်ညီပေါ်သို့ perpendicular ဆွဲချလိုက်သော မျဉ်း၏ အဆုံးမှတ် (Foot of the perpendicular) ကို $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ ဟု ထားပါမည်။ ကျွန်ုပ်တို့ ရှာဖွေလိုသည်မှာ မျဉ်းပိုင်း $\displaystyle PQ$ ၏ အကွာအဝေးပင် ဖြစ်ပါသည်။
ပြင်ညီ $\displaystyle ax + by + cz = d$ နှင့် perpendicular ဖြစ်သော မျဉ်း (Normal line) ၏ Direction Ratios များသည် $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ ဖြစ်ကြောင်း ကျွန်ုပ်တို့ သိရှိထားပြီး ဖြစ်ပါသည်။
မျဉ်း $\displaystyle PQ$ သည် ပြင်ညီပေါ်သို့ perpendicular ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သောကြောင့်၊ ၎င်း၏ Direction Ratios များသည်လည်း $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ ပင် ဖြစ်ပါသည်။
ထို့ကြောင့် အမှတ် $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ မှ ဖြတ်သွားပြီး Direction Ratios $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ ရှိသော မျဉ်း $\displaystyle PQ$ ၏ Coordinate Form (Symmetric Form) ညီမျှခြင်းမှာ-
ဤညီမျှခြင်းမှ အမှတ် $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို Parameter $\displaystyle k$ ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်ပါသည်။
အမှတ် $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ သည် ပြင်ညီ $\displaystyle ax + by + cz = d$ ပေါ်တွင် တည်ရှိနေသောကြောင့်၊ ၎င်း၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို ပြင်ညီညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားသွင်းနိုင်ပါသည်။
$\displaystyle k$ ပါဝင်သော ကိန်းများကို စုစည်းပြီး ကျန်ကိန်းများကို တစ်ဖက်သို့ ရွှေ့၍ နုတ်ပါမည်။
ယခုအခါ အမှတ် $\displaystyle P(x_1, y_1, z_1)$ နှင့် $\displaystyle Q(x_2, y_2, z_2)$ တို့ကြားရှိ အကွာအဝေးကို Distance formula အသုံးပြု၍ တွက်ချက်ပါမည်။
အထက်ပါ အဆင့် (၁) မှ $\displaystyle x_2 - x_1 = ak$, $\displaystyle y_2 - y_1 = bk$, $\displaystyle z_2 - z_1 = ck$ များကို အစားသွင်းလိုက်ပါက-
နှစ်ဖက်လုံးကို Square root (နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း) ယူလိုက်သောအခါ အကွာအဝေးသည် အမြဲတမ်း အပေါင်းကိန်းဖြစ်ရမည် ဖြစ်သောကြောင့် $\displaystyle k$ ၏ Absolute value ကို ယူရပါမည်။
အဆင့် (၂) မှ ရရှိထားသော $\displaystyle k$ ၏ တန်ဖိုးကို အစားသွင်းပါမည်။
$\displaystyle a^2 + b^2 + c^2$ ကို $\displaystyle \left(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\right)^2$ ဟု မြင်ကြည့်ပါက၊ အပေါ်နှင့်အောက် ချေလိုက်သောအခါ အောက်ပါ နောက်ဆုံးဖော်မြူလာကို ရရှိမည်ဖြစ်ပါသည်။
အမှတ် $\displaystyle A(1, 0, 1)$, $\displaystyle B(3, 6, 4)$ နှင့် $\displaystyle C(-2, 3, 1)$ တို့ ပါဝင်သော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းကို ရှာပါ။
ပထမဦးစွာ ပြင်ညီပေါ်တွင် ရှိနေသော မျဉ်းနှစ်ကြောင်းဖြစ်သည့် $\displaystyle AB$ နှင့် $\displaystyle AC$ တို့၏ Directed values များကို ရှာပါမည်။
ပြင်ညီနှင့် perpendicular ဖြစ်သော မျဉ်း (Normal line) ၏ Directed values အား $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$ ဟု ထားပါမည်။ ထို Normal မျဉ်းသည် ပြင်ညီပေါ်ရှိ မျဉ်းတိုင်း (ဤနေရာတွင် $\displaystyle AB$ နှင့် $\displaystyle AC$) နှင့် perpendicular ရမည် ဖြစ်သောကြောင့်-
ဤညီမျှခြင်း နှစ်ခုကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကန့်ကွက်/မက်ထရစ် (Determinant) များကို အသုံးမပြုဘဲ၊ အက္ခရာသင်္ချာ ကြက်ခြေခတ်မြှောက်ခြင်း နည်းလမ်း (Cross multiplication method) သို့မဟုတ် အစားသွင်းနည်း (Substitution) ကို တိုက်ရိုက် အသုံးပြုပါမည်။
Cross multiplication အရ ပုံသေနည်းမှာ-
တန်ဖိုးများကို အစားသွင်းပါက-
ထို့ကြောင့် $\displaystyle \langle a, b, c \rangle = \langle -9, -9, 24 \rangle$ ဖြစ်ပါသည်။
ပြင်ညီညီမျှခြင်း ပုံစံ $\displaystyle ax + by + cz = d$ တွင် အစားသွင်းပါမည်။
ထိုပြင်ညီသည် အမှတ် $\displaystyle A(1, 0, 1)$ ကို ဖြတ်သွားသောကြောင့် (B သို့မဟုတ် C ကို သုံး၍လည်း ရပါသည်)-
ထို့ကြောင့် ပြင်ညီညီမျှခြင်းမှာ $\displaystyle -9x - 9y + 24z = 15$ ဖြစ်ပါသည်။ ညီမျှခြင်း တစ်ခုလုံးကို $\displaystyle -3$ ဖြင့် စား၍ ရိုးရှင်းအောင် (Simplify) ပြုလုပ်ပါက-
ကို နောက်ဆုံးအဖြေအဖြစ် ရရှိမည် ဖြစ်ပါသည်။
Find the equation of the plane containing $\displaystyle A(1,0,1)$, $\displaystyle B(3,6,4)$ and $\displaystyle C(-2,3,1)$.
$\displaystyle A(1,0,1)$, $\displaystyle B(3,6,4)$, $\displaystyle C(-2,3,1)$
Let the directed values of the normal to the plane be $\displaystyle \langle a, b, c \rangle$. Since the normal is perpendicular to both $\displaystyle AB$ and $\displaystyle AC$,
Solving the Simultaneous Equations:
These values are obtained by solving the simultaneous equations using cross multiplication method.
Then,
The equation of the plane is
Find the equation of the line that passes through the point $\displaystyle (-1,3,2)$ and perpendicular to the plane $\displaystyle 3x-2y-z=3$. Find the point of intersection of the line and the given plane.
$\displaystyle \langle a,b,c \rangle = \langle 3,-2,-1 \rangle$.
The equation of the line is
Hence the point of intersection is $\displaystyle (2, 1, 1)$.
Find the equation of the plane containing the point $\displaystyle (-1,3,2)$ and parallel to the plane $\displaystyle 3x-2y-3z=2$.
$\displaystyle \langle a,b,c \rangle = \langle 3,-2,-3 \rangle$
Thus the equation of the required plane is
The point $\displaystyle (-1,3,2)$ lies on the required plane.
The equation of the required plane is
The distance between center $\displaystyle (x_1,y_1,z_1)$ and any point $\displaystyle (x,y,z)$ of a sphere is radius $\displaystyle r$.
Sphere တစ်ခု၏ Center အား $\displaystyle (x_1, y_1, z_1)$ ဟု ထားပြီး၊ Radius အား $\displaystyle r$ ဟု ထားပါက Equation of Sphere မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါသည်။
ဤဖော်မြူလာသည် အမှတ်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေး (Distance Formula) ကို နှစ်ထပ်ကိန်း တင်ထားခြင်းသာ ဖြစ်ပါသည်။
Center $\displaystyle C(0, 1, 0)$ ရှိပြီး၊ ပြင်ညီ $\displaystyle x - 2y + 2z + 5 = 0$ ကို ထိနေသော (Touching the plane) sphere ၏ equation ကို ရှာပါ။
sphere သည် ပြင်ညီကို ထိနေသည်ဆိုပါက၊ ဗဟိုအမှတ် $\displaystyle C$ မှ ထိုပြင်ညီသို့ perpendicular ဆွဲချလိုက်သော အကွာအဝေး (Perpendicular distance) သည် sphere ၏ အချင်းဝက် $\displaystyle r$ နှင့် အတိအကျ ညီမျှရပါမည်။
ပထမဦးစွာ ဗဟိုအမှတ် $\displaystyle C(0, 1, 0)$ မှ ဖြတ်သွားပြီး ပြင်ညီနှင့် perpendicular ဖြစ်သော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းကို ရှာပါမည်။ ထိုမျဉ်း၏ Directed values သည် ပြင်ညီညီမျှခြင်း၏ $x, y, z$ မြှောက်ဖော်ကိန်းများဖြစ်သော $\displaystyle \langle 1, -2, 2 \rangle$ ဖြစ်ရပါမည်။
ထို့ကြောင့် ထိုမျဉ်း၏ Parametric ညီမျှခြင်းမှာ-
ဤမျဉ်းသည် sphere နှင့် ပြင်ညီတို့ ထိတွေ့နေသော အမှတ် $\displaystyle P$ တွင် ဖြတ်သွားမည်ဖြစ်ရာ၊ ယင်း $x, y, z$ တန်ဖိုးများကို ပြင်ညီညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားသွင်းပါမည်။
$\displaystyle s = -\frac{1}{3}$ ကို မျဉ်းညီမျှခြင်းတွင် ပြန်လည်အစားသွင်း၍ ထိမှတ် $\displaystyle P$ ကို ရှာပါမည်။
ထို့ကြောင့် ထိမှတ် $\displaystyle P$ မှာ $\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ ဖြစ်ပါသည်။
ယခုအခါ ဗဟို $\displaystyle C(0,1,0)$ နှင့် ထိမှတ် $\displaystyle P\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ တို့ကြား အကွာအဝေးဖြစ်သော အချင်းဝက် $\displaystyle r$ ကို Distance formula ဖြင့် ရှာပါမည်။
နောက်ဆုံးအနေဖြင့် Center $\displaystyle (0,1,0)$ နှင့် Radius $\displaystyle r = 1$ ကို sphere ညီမျှခြင်း ဖော်မြူလာတွင် အစားသွင်းပါမည်။
ကို အဖြေအဖြစ် ရရှိမည် ဖြစ်ပါသည်။
Find the equation of the plane tangent to the sphere $\displaystyle (x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=14$ at the point $\displaystyle (3,4,1)$.
Center $\displaystyle C(2, 1, -1)$ and Point $\displaystyle P(3, 4, 1)$.
$\displaystyle \langle CP \rangle = \langle 3-2, 4-1, 1-(-1) \rangle = \langle 1,3,2 \rangle$
The tangent plane is perpendicular to the radius $\displaystyle CP$. Thus, directed values of normal $\displaystyle \langle a,b,c \rangle$ are $\displaystyle \langle 1,3,2 \rangle$. The equation of the plane is
$\displaystyle x+3y+2z = d$
Since $\displaystyle P(3,4,1)$ is on the plane, so we get
The equation of the plane is $\displaystyle x+3y+2z=17$.
Find the equation of the sphere with center $\displaystyle (0, 1, 0)$ and touching the plane $\displaystyle x-2y+2z+5=0$.
We can use the perpendicular distance formula from point to plane directly to find the radius $\displaystyle r$.
Distance from $C(0, 1, 0)$ to plane $x - 2y + 2z + 5 = 0$ is $r$:
The equation of the sphere is
Find the equation of a sphere that passes through the points $\displaystyle (9, 0, 0)$, $\displaystyle (3, 13, 5)$ and $\displaystyle (11,0, 10)$, given that its center lies on the yz-plane.
The equation of the sphere with center $\displaystyle (x_1,y_1,z_1)$ and radius $\displaystyle r$ is
$\displaystyle (x-0)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 = r^2$, since its center lies on the yz-plane ($\displaystyle x_1 = 0$).
At $\displaystyle (9,0,0)$,
At $\displaystyle (3, 13, 5)$,
At $\displaystyle (11, 0, 10)$,
From (1) and (3),
From (1) and (2),
Center $\displaystyle = (0,2,7)$
Substitute $\displaystyle x_1=0$, $\displaystyle y_1=2$ and $\displaystyle z_1=7$ in equation (1),
Hence the equation of the sphere is